Question

4．函数f（x）对一切实数x都满足f（1+x）=f（1-x），且当x∈（-∞，1]时f（x）=2^x，若f（m）$＞\frac{1}{2}$，则m的取值范围为-1＜m＜3．

Answer 1

分析 由已知中对任意的实数x都有f （1+x）=f （1-x） 成立，结合函数的对称性，我们易得到函数的图象的对称轴为直线x=1，由2^x=$\frac{1}{2}$，可得x=-1，根据对称性x=3时，f（x）=$\frac{1}{2}$，即可解不等式．

解答 解：由题意，∵f（1+x）=f（1-x），
∴y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
由2^x=$\frac{1}{2}$，可得x=-1，根据对称性x=3时，f（x）=$\frac{1}{2}$，
∵f（m）$＞\frac{1}{2}$，∴-1＜m＜3．
故答案为：-1＜m＜3．

点评 本题考查函数的对称性，考查解不等式，正确运用对称性是关键．