题目内容
17.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x),当x≠0时,$f'(x)+\frac{f(x)}{x}<0$,若a=$\frac{1}{2}$f($\frac{1}{2}$),$b=-\sqrt{2}f(-\sqrt{2})$,c=(ln$\frac{1}{2}$)f(ln$\frac{1}{2}$),则a,b,c的大小关系正确的是( )A. | a<c<b | B. | b<c<a | C. | a<b<c | D. | c<a<b |
分析 构造函数g(x)=xf(x),判断g(x)的单调性与奇偶性即可得出结论.
解答 解:令g(x)=xf(x),则g(-x)=-xf(-x)=xf(x)
∴g(x)是偶函数.
g′(x)=f(x)+xf′(x)
∵$f'(x)+\frac{f(x)}{x}<0$
∴当x>0时,xf′(x)+f(x)<0,
当x<0时,xf′(x)+f(x)>0.
∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.
∵$\frac{1}{2}$<ln2<1<$\sqrt{2}$
∴g($\sqrt{2}$)<g(ln2)<g($\frac{1}{2}$)
∵g(x)是偶函数.
∴g(-$\sqrt{2}$)=g($\sqrt{2}$),g(ln$\frac{1}{2}$)=g(ln2)
∴g(-$\sqrt{2}$)<g(ln$\frac{1}{2}$)<g($\frac{1}{2}$)
故选:B.
点评 本题考查了导数与函数单调性的关系,函数单调性的应用,属于中档题.
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