Question

8．已知函数f（x）=3x³-ax²+x-5在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是a≤5．

Answer 1

分析 函数f（x）=3x³-ax²+x-5在区间[1，2]上单调递增，即f′（x）=9x²-2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立，即a≤$\frac{9{x}^{2}+1}{2x}$在区间[1，2]上恒成立，构造函数g（x）=$\frac{9{x}^{2}+1}{2x}$，利用导数法求出其最小值，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=3x³-ax²+x-5在区间[1，2]上单调递增，
∴f′（x）=9x²-2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立，
即a≤$\frac{9{x}^{2}+1}{2x}$在区间[1，2]上恒成立，
令g（x）=$\frac{9{x}^{2}+1}{2x}$，则g′（x）=$\frac{9{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，
当x∈[1，2]时，g′（x）＞0恒成立，
故当x=1时，g（x）取最小值5，
故a≤5，
故答案为：a≤5．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性与导数的关系，恒成立问题，难度中档．