题目内容

已知椭圆的离心率为,点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别是A、B,过点的动直线与椭圆交于M,N两点,连接AN、BM相交于G点,试求点G的横坐标的值.

(1)椭圆C方程是;(2)G的横坐标的值为8.

解析试题分析:(1)由,又点在椭圆上,所以,这样便得一方程组,解这个方程组求出a、b的值,即可得椭圆C的方程;(2)首先考虑直线MN垂直于轴的情况,易得此时交点为,由此可知,点G的横坐标应当为8.当直线MN不垂直轴时,设直线MN:.由A、N、G三点共线有,由A、N、G三点共线有,有,即,化简,当时化简得.接下来联立直线MN与椭圆方程再用韦达定理代入此等式验证即可.
(1)由,又点在椭圆上,所以解得,则椭圆C方程是;                   .3分
(2)当直线MN垂直于轴,交点为
由题知直线AN:,直线MB:,交点     .5分
当直线MN不垂直轴时,设直线MN:
联立直线MN与椭圆方程得
,        .7分
因为,由A、N、G三点共线有
同理,由A、N、G三点共线有
,即,化简,验证当时化简得带入韦达定理恒成立,因此G的横坐标的值为8.   13分
考点:1、轨迹方程的求法;2、直线与圆锥曲线的关系.

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