Question

【题目】如图，在直三棱柱侧棱和底面垂直的棱柱中，平面侧面，，线段AC、上分别有一点E、F且满足，．

求证：；

求点E到直线的距离；

求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析

（2）

（3）﹣

【解析】

试题（1）过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，由此能证明AB⊥BC．

（2）以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到直线A1B的距离．

（3）分别求出平面BEF的法向量和平面BEC的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣BE﹣C的平面角的余弦值．

（1）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，

则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，

且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，

∴AD⊥平面A1BC，

又∵BC平面A1BC，∴AD⊥BC．

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC．

又∵AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，

又∵AB侧面A1ABB1，∴AB⊥BC．（4分）

（2）解：由（1）知，以点B为坐标原点，

以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

B（0，0，0），A（0，3，0），C（3，0，0），A1（0，3，3）

∵线段AC、A1B上分别有一点E、F，满足2AE=EC，2BF=FA1，

∴E（1，2，0），F（0，1，1），

∴，．

∵=0，∴EF⊥BA1，

∴点E到直线A1B的距离．（8分）

（3）解：，

设平面BEF的法向量，

则，取x=2，得=（2，﹣1，1），

由题意知平面BEC的法向量，

设二面角F﹣BE﹣C的平面角为θ，

∵θ是钝角，∴cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣=﹣，

∴二面角F﹣BE﹣C的平面角的余弦值为﹣．