题目内容

三棱锥的三组相对的棱分别相等,且长度各为,其中,则该三棱锥体积的最大值为
A.B.C.D.
D

试题分析:三棱锥扩展为长方体,三棱锥的体积转化为长方体的体积与四个三棱锥的体积的差,推出B不正确,则C不正确,通过特殊图形说明D正确
解:如图设长方体的三度为,a,b,c;所以所求三棱锥的体积为:abc-4××abc=abc. a2+b2=2,b2+c2=n2,a2+c2=m2,所以2(a2+b2+c2)=n2+m2+2=8. a2+b2+c2=4.因为4≥3
,abc≤此时a=b=c,与n2+m2=6,a2+b2=2,矛盾,所以选项B不正确;则C不正确;当底面三角形是等腰三角形时,m=n=

不难求出三棱锥体积的最大值为,选D.
点评:本题考查几何体的体积的求法,扩展为长方体是解题的关键,考查基本不等式的应用,转化思想与计算能力.
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