Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.

（1）若，求与所成角的余弦值；

（2）当平面与平面垂直时，求的长.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】

试题（1）结合已知条件，设与的交点为，则，故考虑分别以为轴、轴，以过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设与所成的角为，则可转化为与所成的角，代入公式可求；（2）分别求平面的法向量，平面的法向量，由平面平面可得从而可求即.

试题解析：（1）因为四边形是菱形，所以.

又因为平面，所以.

又，所以平面.

设.

因为，，

所以，，

如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.

则，，，，所以，.

设与所成角为，则 .

（2）由（1）知，设（），则，

设平面的法向量，则，，所以，

令，则，，所以.

同理，平面的法向量.

因为平面平面，所以，即，解得.所以.

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求异面直线成的角，以及向量垂直的应用，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.