题目内容
(本题满分13分)
已知椭圆的左右焦点分别为,.在椭圆中有一内接三角形,其顶点的坐标,所在直线的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当的面积最大时,求直线的方程.
已知椭圆的左右焦点分别为,.在椭圆中有一内接三角形,其顶点的坐标,所在直线的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当的面积最大时,求直线的方程.
(1)(2)
(Ⅰ)由椭圆的定义知.
解得,所以.
所以椭圆的方程为.………………………………………………4分
(Ⅱ)由题意设直线的方程为,
由得.
因为直线与椭圆交于不同的两点,且点不在直线上,
所以 解得,且.
设两点的坐标分别为,,
则,,,.
所以.
点到直线的距离.
于是的面积,
当且仅当,即时成立.
所以时的面积最大,此时直线的方程为.
即为.……………………………………………………………13分
解得,所以.
所以椭圆的方程为.………………………………………………4分
(Ⅱ)由题意设直线的方程为,
由得.
因为直线与椭圆交于不同的两点,且点不在直线上,
所以 解得,且.
设两点的坐标分别为,,
则,,,.
所以.
点到直线的距离.
于是的面积,
当且仅当,即时成立.
所以时的面积最大,此时直线的方程为.
即为.……………………………………………………………13分
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