题目内容

a
b
c
是任意的非零向量,且相互不共线,下列命题:
(1)(
a
b
)
c
-(
c
a
)
b
=
0

(2)|
a
|-|
b
|<|
a
-
b
|

(3)(
b
c
)
a
-(
a
c
)
b
不与
c
垂直,
(4)(3
a
+4
b
)•(3
a
-4
b
)=9|
a
|2-16|
b
|2

其中正确的命题有(  )
分析:由题意
a
b
c
是任意的非零向量,且相互不共线,(1)中研究向量的数量积与数乘运算,由运算规则判断;
(2)中研究向量差的模与模的差的关系,由其几何意义判断;(3)中研究向量的垂直关系,可由数量积为0验证;(4)中是数量积的运算规则考查,由数量积运算规则判断.
解答:解:由题意(1)是一个错误命题,因为(
a
b
)
c
c
共线,(
c
a
)
b
b
共线,由题设条件
b
c
是任意的非零向量,且相互不共线知,(
a
b
)
c
-(
c
a
)
b
=
0
不成立;
(2)是一个正确命题,由向量的减法法则知,两向量差的模一定小两向量模的差;
(3)是个错误命题,因为[(
b
c
)
a
-(
a
c
)
b
]•
c
=(
b
c
)(
a
c
)-(
a
c
)(
b
c
)=0
,故(
b
c
)
a
-(
a
c
)
b
c
垂直,所以此命题不正确;
(4)是一个正确命题因为(3
a
+4
b
)•(3
a
-4
b
)=9|
a
|2-16|
b
|2
是正确的;
综上知(2)(4)是正确命题
故选D
点评:本题考查数量积的运算,数乘向量的运算,解题的关键是理解向量数量积运算及其几何意义,理解数量积为0对应的几何意义是两向量垂直,本题的难点是对数量积运算的理解及相应的几何意义
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