Question

在下列各命题中:
①|a+b|－|a－b|≤2|b|；
②a、b∈R⁺,且x≠0,则|ax+|≥2；
③若|x－y|<ε,则|x|<|y|+ε；
④当且仅当ab<0或ab=0时,|a|－|b|≤|a+b|中的等号成立.
其中真命题的序号为__________.
本题主要考查绝对值不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的应用.

Answer 1

①②③

∵|a+b|－|a－b|≤|(a+b)－(a－b)|=|2b|=2|b|,
∴①是真命题.
∵a、b∈R⁺,x≠0,∴ax与同号.
∴|ax+|=|ax|+||≥2=2.
∴②是真命题.
∵|x－y|<ε,∴|x|－|y|≤|x－y|<ε.
∴|x|－|y|<ε.
移项得|x|<|y|+ε,∴③是真命题.
当a=－1,b=2时,有ab<0.
|a|－|b|=1－2=－1,|a+b|=|－1+2|=1,则此时|a|－|b|≠|a+b|.
∴④是假命题.
∴真命题的序号为①②③.