Question

1．以下四个命题中正确的个数是（　　）
（1）若x∈R，则x²+$\frac{1}{4}$≥x；
（2）若x≠kπ，k∈Z，则sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2；
（3）设x，y＞0，则$（{x+y}）（{\frac{1}{x}+\frac{4}{y}}）$的最小值为8；
（4）设x＞1，则x+$\frac{1}{x-1}$的最小值为3．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）作差配方为x²+$\frac{1}{4}$-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$≥0，即可判断出正误；
（2）取x=$\frac{7π}{6}$，sinx+$\frac{1}{sinx}$=$-\frac{1}{2}$-2＜0，即可判断出正误；
（3）设x，y＞0，则$（{x+y}）（{\frac{1}{x}+\frac{4}{y}}）$=5+$\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}$，利用基本不等式的性质即可判断出正误；
（4）设x＞1，则x-1＞0，变形x+$\frac{1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1，利用基本不等式的性质即可判断出正误．

解答 解：（1）若x∈R，则x²+$\frac{1}{4}$-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$≥0，当x=$\frac{1}{2}$时取等号，∴x²+$\frac{1}{4}$≥x，正确；
（2）若x≠kπ，k∈Z，取x=$\frac{7π}{6}$，sinx+$\frac{1}{sinx}$=$-\frac{1}{2}$-2＜0，因此不成立；
（3）设x，y＞0，则$（{x+y}）（{\frac{1}{x}+\frac{4}{y}}）$=5+$\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}$$≥5+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=9，当且仅当x=2y＞0时取等号，其最小值为9，因此不正确；
（4）设x＞1，则x-1＞0，∴x+$\frac{1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1=$2\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+1=3，当且仅当x=2时取等号，∴最小值为3，正确．
综上可得：只有（1）（4）正确．
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的性质、举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．