题目内容
已知数列{an}满足
（I）求a2，a3的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）记
，若对于任意正整数n都有
成立，求实数λ的取值范围．
【答案】分析：（I）直接利用递推公式，令n=1，n=2计算
（Ⅱ）原式两边取倒数，
，再取对数，构造出
．据此求{an}的通项公式；
（Ⅲ）
，分离常数，变为λ＞y 恒成立的形式，故λ大于y的最大值，利用y 的单调性确定它的最大值．
解答：解：（I）
（Ⅱ）原式两边取倒数，则
上式两边取对数，则
解得
（Ⅲ）
由题中不等式解得，
对于任意正整数均成立
注意到
，构造函数
则
设函数
由g'（x）=sinx-1＜0对
成立，得g（x）=1-cosx-x为
上的减函数，
所以g（x）max＜g（0）=0即f'（x）＜0对
成立，因此f（x）为
上的减函数，
即f（x）max＜f（0）=0，故λ≥0
点评：本题主要考查数列通项公式求解、不等式恒成立问题．用到对数的运算、函数与导数知识，需具有转化构造能力、计算能力、分析解决问题能力．
（Ⅱ）原式两边取倒数，
，再取对数，构造出．据此求{an}的通项公式；（Ⅲ）
，分离常数，变为λ＞y 恒成立的形式，故λ大于y的最大值，利用y 的单调性确定它的最大值．解答：解：（I）
（Ⅱ）原式两边取倒数，则
上式两边取对数，则
解得
（Ⅲ）
由题中不等式解得，
对于任意正整数均成立注意到
，构造函数则
设函数由g'（x）=sinx-1＜0对
成立，得g（x）=1-cosx-x为上的减函数，所以g（x）max＜g（0）=0即f'（x）＜0对
成立，因此f（x）为上的减函数，即f（x）max＜f（0）=0，故λ≥0
点评：本题主要考查数列通项公式求解、不等式恒成立问题．用到对数的运算、函数与导数知识，需具有转化构造能力、计算能力、分析解决问题能力．
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