题目内容
如图，已知
是长轴为
的椭圆上三点，点
是长轴的一个顶点，
过椭圆中心
，且
.
(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；
(2)如果椭圆上两点
使直线
与
轴围成底边在轴上的等腰三角形，是否总存在实数
使
?请给出证明．
(1)
(2) 存在实数使
证明：设直线
的方程为
，所以直线
的方程为
由椭圆方程与直线的方程联立，消去
得
，所以
同理
又
，所以
，所以
，即存在实数使成立
解析试题分析：(1)以为原点，
所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，则
，椭圆方程可设为
而为椭圆中心，由对称性知
又
，所以
又
，所以
所以
为等腰直角三角形，所以点
的坐标为
将 代入椭圆方程得
则椭圆方程为
(2)由直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，设直线的斜率为
，
则直线的斜率为
，直线的方程为，
直线的方程为
由椭圆方程与直线的方程联立，消去得
①
因为
在椭圆上，所以
是方程①的一个根，于是 同理
这样，
又，所以
即
.所以，即存在实数使.
考点：求椭圆方程及直线与椭圆相交韦达定理的应用
点评：本题对于高二文科学生有一定的难度，可区分出优秀学生与一般学生
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的离心率为
，一条准线
．
的方程；
是
上的点，
为椭圆
交于
两点．
，求圆
在定圆上，并求该定圆的方程．
:
的一个顶点为
，离心率为
.直线
与椭圆
时，求
的值.
，过其焦点F的直线交抛物线于
、
两点。过
、
作准线的垂线，垂足分别为
、
.
和
都是定值，并求出这个定值；
.
经过定点
，且与直线
相切。
方程；
过定点
与曲线
、
两点：
，求直线
始终在以
为直径的圆内，求
的取值范围。
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.
是椭圆
使得
，求证：
为定值.
的焦点，M的离心率
，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线
，交M于A，B两点。
，求实数t的取值范围。
的左、右顶点分别为
，点M是椭圆上异于
的斜率分别为
，求证
为定值并求出此定值；
的左、右顶点分别为