Question

（本小题满分16分）
已知椭圆的离心率为，一条准线．

（1）求椭圆的方程；
（2）设O为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于两点．
①若，求圆的方程；
②若是l上的动点，求证：点在定圆上，并求该定圆的方程．

Answer 1

（1）；（2）①或 ；②设，
由①知：，消去得：=2，点在定圆=2上．

解析试题分析：（1）由题设：，，，
椭圆的方程为：               ………………………… 4分
（2）①由（1）知：，设，
则圆的方程：，     ………………………… 6分
直线的方程：，             ………………………… 8分
，，  ………………………… 10分
，
圆的方程：或  …………… 12分
②解法（一）：设，
由①知：，
即：，     ………………………… 14分
消去得：=2，点在定圆=2上．……………… 16分
解法（二）：设，则直线FP的斜率为，
∵FP⊥OM，∴直线OM的斜率为，
∴直线OM的方程为：，点M的坐标为．……………14 分
∵MP⊥OP，∴,∴ 
∴=2,点在定圆=2上．     …………………………16 分
考点：本题考查了直线与椭圆的位置关系
点评：求解圆锥曲线的方程关键是求解a和b，可应用已知条件得到关于两个参量的方程或由性质直接求得.