题目内容

【题目】已知函数,其中e是自然对数的底数,

1)求函数的单调区间;

2)设,讨论函数零点的个数,并说明理由.

【答案】1)增区间是,减区间是.2)见解析

【解析】

1)求导函数,分别令,解出不等式,即可得到函数的单调区间;

2)由 得方程 ,显然 为此方程的一个实数解., 方程可化简为,设函数利用导数得到 的最小值, 因为,再对讨论,得到函数的零点个数.

解:(1)因为,所以.

;由.

所以由的增区间是,减区间是.

2)因为.

,得.

,又不是的零点,

故只需再讨论函数零点的个数.

因为

所以当时,单调递减;

时,单调递增.

所以当时,取得最小值.

时,无零点;

时, 有唯一零点;

,即时,因为

所以上有且只有一个零点.

.

所以上单调递增,

所以,都有.

所以.

所以上有且只有一个零点.

所以当时,有两个零点

综上所述,当时,有一个零点;

时,有两个零点;

时,有三个零点.

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