Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，总有，求的最小值；

（2）对于中任意恒有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）令，求，分和，讨论的单调性，得到的最小值；

（2）令，易知当时，恒成立；然后再证明时，不恒成立，即得的取值范围.

（1）令，

则，

在上单调递增，且

若，则在上单调递增，，即满足条件；

若存在单调递减区间，又，

所以存在使得与已知条件矛盾，所以，的最小值为1.

（2）由（1）知，如果，则必有成立.

令，

则，即.

若，必有恒成立，

故当时，恒成立，

下面证明时，不恒成立.

令，，

当时，，在区间上单调递增

故，即，故.

，

令，，

所以在上单调递增，又，则一定存在区间 （其中），

当时，，

则，故不恒成立.

综上所述：实数取值范围是.