Question

在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为

2

的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点．
（1）求证：OD∥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）欲证OD∥平面PAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OD与平面PAC内一直线平行，而OD∥PA，PA?平面PAC，OD?平面PAC，满足定理条件；
（2）欲证平面PAB⊥平面ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面PAB内一直线与平面ABC垂直，而根据题意可得PO⊥平面ABC；
（3）根据OP垂直平面ABC得到OP为三棱锥P-ABC的高，根据三棱锥的体积公式可求出三棱锥P-ABC的体积．

解答：证明（Ⅰ）∵O，D分别为AB，PB的中点，
∴OD∥PA
又PA?平面PAC，OD?平面PAC
∴OD∥平面PAC．
（Ⅱ）连接OC，OP∵AC=CB=

2

，O为AB中点，AB=2，
∴OC⊥AB，OC=1．
同理，PO⊥AB，PO=1．
又PC=

2

，
∴PC²=OC²+PO²=2，
∴∠POC=90°．
∴PO⊥OC．
∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC=O，
∴PO⊥平面ABC．PO?平面PAB
∴平面PAB⊥平面ABC．
解（Ⅲ）由（Ⅱ）可知OP垂直平面ABC，
∴OP为三棱锥P-ABC的高，且OP=1
∴VP-ABC=

1

3

S△ABC•OP=

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

．

点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定和三棱锥的体积的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．