题目内容
15．设函数f（x）=ex-ax，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）若函数y=f（x）的图象在x=ln2处的切线l的倾斜角为0，求切线l的方程；
（2）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2）是曲线C上不同的两定点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N，记直线AB的斜率为k．若x1=-x2，试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？请说明理由．
分析 （1）求导数，利用函数y=f（x）的图象在x=ln2处的切线l的倾斜角为0，求出a，即可求切线l的方程；
（2）设出线段AB的中点M的坐标，得到N的坐标，由两点式求出AB的斜率，再由导数得到曲线C过N点的切线的斜率，由斜率相等得$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{2{x}_{2}}$-a=1-a，构造函数，确定单调性，即可得出结论．
解答 解：f′（x）=ex-a．----（1分）
（1）由函数y=f（x）的图象在x=ln2处的切线l的倾斜角为0，
即f′（ln2）=tan0=0，
则eln2-a=0，即a=2，---（3分）
又f（ln2）=2-2ln2，
故切线l的方程为y=2-2ln2；----（5分）
（2）由题意知x1=-x2，k=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-a=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{2{x}_{2}}$-a，----（8分）
点N的横坐标$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=0为，
曲线C在点N处切线斜率k′=f′（0）=1-a，----（10分）
假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，
则$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{2{x}_{2}}$-a=1-a，即${e}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$-2x2=0，其中x2＞0，----（12分）
设g（x）=ex-$\frac{1}{{e}^{x}}$-2x（x＞0），g′（x）=）=ex+$\frac{1}{{e}^{x}}$-2≥0，
则g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）＞g（0）=0，----（14分）
故${e}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$-2x2=0不成立，
因此曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．----（16分）
点评 本题考查利用导数求函数的切线方程，训练了利用构造函数法证明问题，是压轴题．
| A． | -$\frac{\sqrt{5}}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | -$\frac{2}{3}$ |
在平面直角坐标系xoy中，设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，左准线为l．P为椭圆C上任意一点，直线OQ⊥FP，垂足为Q，直线OQ与l交于点A．| A． | 100种 | B． | 110种 | C． | 120种 | D． | 180种 |