Question

6．在△ABC中，点D是BC的中点，若AB⊥AD，∠CAD=30°，BC=2$\sqrt{7}$，则△ABC的面积为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形并求出角A的值，根据正弦、余弦定理分别列出方程，化简后求出边AC、AB，由三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

解答 解：如图：设AB=c、AC=b，且BD=DC=$\sqrt{7}$，
∵AD⊥AB，∠CAD=30°，
∴AD²=7-c²，∠BAC=120°，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，
∴sinB=$\frac{AC•sinA}{BC}$=$\frac{b×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}b}{4\sqrt{7}}$，
在RT△ABD中，sinB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{7-{c}^{2}}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}b}{4\sqrt{7}}$，
∴AC=b=$\frac{4\sqrt{7-{c}^{2}}}{\sqrt{3}}$，
在△ADC中，由余弦定理得，CD²=AD²+AC²-2•AD•AC•cos∠DAC，
则7=7-c²+$\frac{16（7-{c}^{2}）}{3}$-2×$\sqrt{7-{c}^{2}}$×$\frac{4\sqrt{7-{c}^{2}}}{\sqrt{3}}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
化简得，c²=4，则c=2，
代入b=$\frac{4\sqrt{7-{c}^{2}}}{\sqrt{3}}$得，b=4，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理，三角形的面积公式，考查了方程思想，以及化简、计算能力，属于中档题．