Question

【题目】设函数是定义在R上的函数，对任意实数x，有f（1﹣x）=x2﹣3x+3．

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在g（x）=f（x）﹣（1+2m）x+1（m∈R）在上的最小值为﹣2，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=x2+x+1；（2）2.

【解析】

（1）令，则，利用换元法即可求解函数的解析式；

（2）结合（1）中的结论，分类讨论求得函数的最值，即可求解结果．

解：（1）令1﹣x=t，则x=1﹣t，∴f（t）=（1﹣t）2﹣3（1﹣t）+3，

∴f（t）=t2+t+1，∴函数的解析式为f（x）=x2+x+1．

（2）g（x）=x2﹣2mx+2=（x﹣m）2+2﹣m2（）．

若 ，则g（x）min=g（m）=2﹣m2=﹣2，∴m=2．

若，则，∴，舍去．

综上可知m=2．