题目内容
22.(本题满分15分)已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点
到其准线的距离等于5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆
交于A、C、D、B四点,试证明
为定值;
(Ⅲ)过A、B分别作抛物C的切线
且
交于点M,求
与
面积之和的最小值.

(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆






解: (Ⅰ)设抛物线方程为
,由题意得:
,
, 所以抛物线C的方程为
…4分

(Ⅱ) 解法一:抛物线焦点与
的圆心重合即为E(0,1),
设过抛物线焦点的直线方程为
,
,
,
,得到
,………………………….2分
由抛物线的定义可知
,
,

.即
为定值1………..3分
(Ⅲ)
,所以
,
所以切线AM的方程为
,切线BM的方程为
,
解得
即
………………………………………………………….2分
所以点M到直线AB的距离为
.
设
…………………………………..………….2分
令
,所以
,
,
所以
在
上是增函数,当
,即
时,
,即
与
面积之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分
(Ⅱ)解法二:设过抛物线焦点的直线方程为
,
,不妨设
.
,
,得到
,………………………….2分
,
,

,即
为定值……………..………..3分
(Ⅲ)
,所以
,所以切线AM的方程为
,
切线BM的方程为
,解得
即
……….2分
所以点M到直线AB的距离为
.
设
……………………………….2分
令
,所以
,
,
所以
在
上是增函数,当
,即
时,
,即
与
面积之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分





(Ⅱ) 解法一:抛物线焦点与

设过抛物线焦点的直线方程为





由抛物线的定义可知





(Ⅲ)


所以切线AM的方程为


解得


所以点M到直线AB的距离为

设


令



所以







(Ⅱ)解法二:设过抛物线焦点的直线方程为











(Ⅲ)



切线BM的方程为



所以点M到直线AB的距离为

设


令



所以







略

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