题目内容

5.已知函数f(x)=ln(2x+1)+$\frac{{x}^{2}+x}{8}$,则曲线在点(x,y)处切线的倾斜角的范围是[$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$).

分析 求出函数的导数,求得切线的斜率,由基本不等式可得切线的斜率的范围,由直线的斜率公式,结合正切函数的图象和直线的倾斜角的范围,即可得到所求范围.

解答 解:函数f(x)=ln(2x+1)+$\frac{{x}^{2}+x}{8}$的导数为f′(x)=$\frac{2}{2x+1}$+$\frac{1}{8}$(2x+1),
由2x+1>0,可得$\frac{2}{2x+1}$+$\frac{1}{8}$(2x+1)≥2$\sqrt{\frac{2}{2x+1}•\frac{2x+1}{8}}$=1,
当且仅当2x+1=4,即x=$\frac{3}{2}$时,取得最小值1.
即有曲线在点(x,y)处切线的斜率k≥1,
即有tanα≥1(α为倾斜角),
则有$\frac{π}{4}$≤α<$\frac{π}{2}$.
故答案为:[$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$).

点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查直线的倾斜角的范围,同时考查基本不等式的运用,属于中档题.

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