题目内容
【题目】如图,矩形所在的半平面和直角梯形
所在的半平面成
的二面角,
,
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)试问在线段上是否存在一点
,使锐二面角
的余弦值为
.若存在,请求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)根据二面角的平面角的定义得到即为二面角
的平面角
,根据
,
得到线面垂直,进而得到面面垂直;(Ⅱ)根据二面角的平面角的定义,结合三垂线法做出平面角
是锐二面角
的平面角,由几何关系得到相应结果即可.
(Ⅰ)证明:∵,
,
∴即为二面角
的平面角,
∴.
又∵,
∴平面
,
又∵平面
,
∴平面平面
.
(Ⅱ)在线段上存在一点
,当
符合题意,
∵平面平面
,在平面
内,作
于
,
又∵平面平面
,则
平面
.
过作
于H,连接
,∵
为
在平面
的射影,
∴是锐二面角
的平面角,
因为,又因为锐二面角
的余弦值是
,
所以.
取中点
,易知
与
相似,设
,则
,
即,解得
或
(舍),
因此存在符合题意的点,使得
.
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