题目内容
已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)设函数,求函数的单调区间;
(Ⅲ)若在上存在一点,使得<成立,求的取值范围.
【答案】
(Ⅰ)曲线在点处的切线方程为;(Ⅱ)当时,
所以在上单调递减,在上单调递增;②当时,函数在上单调递增.(Ⅲ)所求的范围是:或.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程,由导数的几何意义可得,对函数求导得,令,求出,得切线斜率,由点斜式可写出曲线在处的切线方程;(Ⅱ)设函数,求函数的单调区间,求函数的单调区间,首先确定定义域,可通过单调性的定义,或求导确定单调区间,由于,含有对数函数,可通过求导来确定单调区间,对函数求导得,由此需对参数讨论,有范围判断导数的符号,从而得单调性;(Ⅲ)若在上存在一点,使得<成立,既不等式<有解,即在上存在一点,使得,即函数在上的最小值小于零,结合(Ⅱ),分别讨论它的最小值情况,从而可求出的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为,
当时,, ,
,,切点,斜率
∴曲线在点处的切线方程为
(Ⅱ),
①当时,即时,在上,在上,
所以在上单调递减,在上单调递增;
②当,即时,在上,所以,函数在上单调递增.
(Ⅲ)在上存在一点,使得成立,即在上存在一点,使得,即函数在上的最小值小于零.
由(Ⅱ)可知:①当,即时, 在上单调递减,
所以的最小值为,由可得,
因为,所以;
②当,即时, 在上单调递增,
所以最小值为,由可得;
③当,即时,可得最小值为,
因为,所以,
故 此时不存在使成立.
综上可得所求的范围是:或.
考点:函数与导数,函数单调性,存在解问题.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )
π |
2 |
A、f(x)=2sin(
| ||||
B、f(x)=2sin(
| ||||
C、f(x)=2sin(2x-
| ||||
D、f(x)=2sin(2x+
|