题目内容

已知函数

(Ⅰ)当时,求曲线处的切线方程;

(Ⅱ)设函数,求函数的单调区间;

(Ⅲ)若在上存在一点,使得成立,求的取值范围.

 

【答案】

(Ⅰ)曲线在点处的切线方程为;(Ⅱ)当时,

所以上单调递减,在上单调递增;②当时,函数上单调递增.(Ⅲ)所求的范围是:

【解析】

试题分析:(Ⅰ)当时,求曲线处的切线方程,由导数的几何意义可得,对函数求导得,令,求出,得切线斜率,由点斜式可写出曲线处的切线方程;(Ⅱ)设函数,求函数的单调区间,求函数的单调区间,首先确定定义域,可通过单调性的定义,或求导确定单调区间,由于,含有对数函数,可通过求导来确定单调区间,对函数求导得,由此需对参数讨论,有范围判断导数的符号,从而得单调性;(Ⅲ)若在上存在一点,使得成立,既不等式有解,即在上存在一点,使得,即函数上的最小值小于零,结合(Ⅱ),分别讨论它的最小值情况,从而可求出的取值范围.

试题解析:(Ⅰ)的定义域为

时,

,切点,斜率

∴曲线在点处的切线方程为

(Ⅱ)

  

①当时,即时,在,在

所以上单调递减,在上单调递增;

②当,即时,在,所以,函数上单调递增.

(Ⅲ)在上存在一点,使得成立,即在上存在一点,使得,即函数上的最小值小于零.

由(Ⅱ)可知:①当,即时, 上单调递减,

所以的最小值为,由可得

因为,所以

②当,即时, 上单调递增,

所以最小值为,由可得

③当,即时,可得最小值为

因为,所以,

此时不存在使成立.

综上可得所求的范围是:

考点:函数与导数,函数单调性,存在解问题.

 

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