题目内容

34、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,BC的中点.
(1)求证:平面B1MN⊥平面BB1D1D;
(2)若在棱DD1上有一点P,使BD1∥平面PMN,求线段DP与PD1的比.
分析:(1)连接AC,由正方形性质得AC⊥BD,又由正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,BC的中点,易得MN∥AC,则MN⊥BD.BB1⊥MN,由线面垂直的判定定理,可得MN⊥平面BB1D1D,进而由面面垂直的判定定理,可得平面B1MN⊥平面BB1D1D;
(2)设MN与BD的交点是Q,连接PQ,PM,PN,由线面平行的性质定理,我们易由BD1∥平面PMN,BD1?平面BB1D1D,平面BB1D1D∩平面PMN=PQ,得BD1∥PQ,再由平行线分线段成比例定理,得到线段DP与PD1的比.
解答:解:(1)证明:连接AC,则AC⊥BD,
又M,N分别是AB,BC的中点,
∴MN∥AC,∴MN⊥BD.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,
∴BB1⊥平面ABCD,
∵MN?平面ABCD,
∴BB1⊥MN,
∵BD∩BB1=B,
∴MN⊥平面BB1D1D,
∵MN?平面B1MN,
∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.
(2)设MN与BD的交点是Q,连接PQ,PM,PN
∵BD1∥平面PMN,BD1?平面BB1D1D,平面BB1D1D∩平面PMN=PQ,
∴BD1∥PQ,
∴DP:PD1=DQ:QB=3:1.
点评:本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的性质,其中熟练掌握空间线面关系的判定、性质、定义,建立良好的空间想像能力是解答此类问题的关键.
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