Question

仔细阅读下面问题的解法：
设A=[0，1]，若不等式2^1-x+a＞0在A上有解，求实数a的取值范围．
解：令f（x）=2^1-x+a，因为f（x）＞0在A上有解．

⇒f(x)在A上的最大值大于0， 又∵f(x)在[0，1]上单调递减

⇒f(x)最大值=f(0)
=2+a＞0⇒a＞-2
学习以上问题的解法，解决下面的问题，已知：函数f（x）=x²+2x+3（-2≤x≤-1）．
①求f（x）的反函数f^-1（x）及反函数的定义域A；
②设B={x|lg

10-x

10+x

＞lg(2x+a-5)}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：①先根据函数的单调性得到反函数的定义域；再求出x=-1-

y-2

即可得到函数f（x）的反函数；
②先根据条件把问题转化为不等式a＜

10-x

10+x

-2^x+5在集合A上有解；再根据函数的单调性求出h（x）=

10-x

10+x

-2^x+5在集合A上的最大值，即可得到结论．

解答：解：①（1）f（x）=（x+1）²+2
∵f（x）在[-2，-1]上单调递减
∴f（x）∈[2，3]
故反函数的定义域A=[2，3]（2分）
令x+1=-

y-2

，得x=-1-

y-2

，
∴f^-1（x）═-1-

y-2

，x∈[2，3]（4分）
②由A∩B≠Φ，得出不等式

10-x

10+x

＞2^x+a-5在集合A上有解；
亦即不等式a＜

10-x

10+x

-2^x+5在集合A上有解（10分）
令函数h（x）=

10-x

10+x

-2^x+5，
a＜h（x）在集合A上有解，⇒a＜h（x）在集合A上的最大值
又h（x）=

10-x

10+x

-2^x+5=

20

10+x

-2^x+4，在区间A上单调递减
h（x）_max=g（2）=

5

3

⇒a＜

5

3

⇒实数a的取值范围为（-∞，

5

3

） （12分）

点评：本题主要考查函数的单调性的应用以及反函数的求法．是对函数知识的综合考查，属于中档题目，考查计算能力以及分析问题的能力