Question

20．已知函数f（x）=sin（x+φ），其中0＜φ＜π，x∈R，其图象经过点M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出函数y=1-2f（x）在[0，2π]内的简图，并指出函数y=1-2f（x）在[0，2π]内的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{π}{3}$+φ），结合范围0＜φ＜π，解得φ的值，即可求得f（x）的解析式．
（2）利用“五点法”即可作出函数y=1-2f（x）在一个周期上的图象，根据图象即可求得函数y=1-2f（x）在[0，2π]内的单调递减区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（x+φ），其中0＜φ＜π，x∈R，其图象经过点M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）．
∴$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{π}{3}$+φ），解得：$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，或$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，即：φ=2kπ$-\frac{π}{6}$，或φ=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{2}$．
故f（x）的解析式为：f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx．
（2）y=1-2f（x）=1-2cosx，
列表：

x	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
cosx	1	0	-1	0	1
y=1-2cosx	-1	1	3	1	-1

作图如下：

由函数图象可得：函数y=1-2f（x）在[0，2π]内的单调递减区间为：[π，2π]．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点法作图的基本方法．