题目内容

设函数
①当a=1时,求函数的极值;
②若上是递增函数,求实数a的取值范围;
③当0<a<2时,,求在该区间上的最小值.
(1);(2);(3)当x=2时取得最小值,为.
(1)求出导数,然后根据解出极值点,进而根据极值的确定方法求极值即可.
(2)由题意知把此问题转化为上恒成立问题解决即可,
(3)令得,,由于0<a<2,所以当x=1或4时有可能取最大值,然后再分类讨论可求出a值.再进一步确定最小值.
解:因为
所以…………………………………………1分
①   因为a=1,所以
所以…………………………………………2分
得,…………………………………………3分
列表如下:
x

-1

2


+
0
-
0
+
y

极大值

极小值

当x=-1时取得极大值,为
当x=2时取得极小值,为…………………………………………5分
②   因为上是递增函数,
所以上恒成立,…………………………………………6分
上恒成立.

解得…………………………………………8分
③令得,
列表如下:
x




-
0
+
y

极小值

由上表知当x=1或4时有可能取最大值,………………………………9分
解得a=-4不符合题意舍.…………………………………………10分
解得a=1…………………………………………11分
因为a=1,
所以
得,…………………………………………12分
列表如下:
x

2


-
0
+
y

极小值

 
当x=2时取得最小值,为…………………………………………14分
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