题目内容
【题目】设F1，F2分别是椭圆E： 
（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=
，则椭圆E的离心率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】D
【解析】
设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，
∴|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k
∵cos∠AF2B=
，
在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cos∠AF2B，
∴（4k）2=（2a-3k）2+（2a-k）2-
（2a-3k）（2a-k），
化简可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，
∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，
∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，
∴AF1⊥AF2，
∴△AF1F2是等腰直角三角形，
∴c=
a，
∴椭圆的离心率e=
，
故选：D．
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