题目内容
【题目】如图,已知四棱锥中,
平面
,
,
,且
,
,
是
的中点.
(1)求异面直线与
所成角的大小;
(2)求点D到平面的距离.
【答案】(1) 异面直线与
所成角为
;(2)1.
【解析】试题分析:(1)因为平面
,取
的中点
,则
两两垂直,以
点为原点以
为轴,建立空间直角坐标系
,分别求出异面直线
与
的方向向量,利用空间向量夹角余弦公式求解即可;(2)先求得
,又∵
平面
,
是平面
的一个法向量,所以点
到平面
的距离
.
试题解析:(1)如图所示,以点为原点建立空间直角坐标系
,
则,
,
,故
,
,
,即
,
故异面直线与
所成角为
;
(2)在平面中,∵
,
,∴
,
∵,∴
,由
得
,
∴,又∵
,∴
,又∵
平面
,
∴是平面
的一个法向量,所以点D到平面
的距离
【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求线面角,以及利用向量求点面距离,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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