Question

已知y=f（x）=xlnx．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；
（2）设实数a＞0，求函数F(x)=

f(x)

a

在[a，2a]上的最大值．
（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

分析：（1）欲求在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）欲求函数F(x)=

f(x)

a

在[a，2a]上的最大值，只须利用导数研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即可．
（3）原问题等价于证明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，  +∞))，下面只要证明左边函数的最小值比右边函数的最大值还大即可，由（2）可得左边函数的最小值，利用导数求出右边函数的最大值，最后比较这两个值的大小即得．

解答：解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞）f'（x）=lnx+1
∵f（e）=e又∵k=f^/（e）=2
∴函数y=f（x）的在x=e处的切线方程为：y=2（x-e）+e，即y=2x-e
（2）F′(x)=

1

a

(lnx+1)令F′（x）=0得x=

1

e

当x∈(0，  

1

e

)，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x∈(

1

e

， +∞)，F′（x）＞0，F（x）单调递增．
∴F（x）在[a，2a]上的最大值F_max（x）=max{F（a），F（2a）}
∵F(a)-F(2a)=lna-2ln2a=ln

1

4a

∴当0＜a≤

1

4

时，F（a）-F（2a）≥0，F_max（x）=F（a）=lna
当a＞

1

4

时，F（a）-F（2a）＜0，F_min（x）=F（2a）=2ln2a
（3）问题等价于证明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，  +∞))，
由（2）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时取得．
设m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，则m′(x)=

1-x

ex

，
易得[m(x)]max=m(1)=-

1

e

，
当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），
都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

点评：本小题主要考查函数恒成立问题、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力和分类讨论思想．属于中档题．