题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,过椭圆右焦点
的直线
与椭圆交于
,
两点,当直线
与
轴垂直时,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当直线与
轴不垂直时,在
轴上是否存在一点
(异于点
),使
轴上任意点到直线
,
的距离均相等?若存在,求
点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在点
【解析】
(1)由题意可得方程解方程后即可得解;
(2)设直线,
,
,假设存在点
,设
,由题意
,联立方程组表示出
、
,代入即可得解.
(1)由题意得,解得:
,
,
.
所以椭圆的标准方程为:.
(2)依题意,若直线的斜率不为零,可设直线
,
,
.
假设存在点,设
,由题设,
,且
,
.
设直线,
的斜率分别为
,
,
则,
.
因为,
在
上,
故,
,
而轴上任意点到直线
,
距离均相等等价于“
平分
”,
继而等价于.
则.
联立,消去
得:
,
有,
.
则,
即,故
或
(舍).
当直线的斜率为零时,
也符合题意.
故存在点,使得
轴上任意点到直线
,
距离均相等.
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