(2006•奉贤区一模)政府决定用“对社会的有效贡献率对企业进行评价．an表示某企业第n年投入的治理污染的环保费用.用bn表示该企业第n年的产值．a1=a.且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a,又设b1=b.且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%.Pn=anbn100ab表示企业第n年“对社会的有效贡献率．(1)求该企业� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2006•奉贤区一模）政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价．a_n表示某企业第n年投入的治理污染的环保费用，用b_n表示该企业第n年的产值．a₁=a（万元），且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a（万元）；又设b₁=b（万元），且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%.Pn=

anbn

100ab

表示企业第n年“对社会的有效贡献率”．
（1）求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”；
（2）试问：从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%？

分析：（1）因为 a₁=a，b₁=b，根据题意：a₂=a₁+2a=3a，b₂=b₁（1+10%）=1.1b．由此能求出该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”．
（2）因为 a_n=a₁+2a（n-1）=（2n-1）a（n∈N^*），b_n=b₁×（1+10%）^n-1=1.1^n-1b（n∈N^*），Pn=

(2n-1)a×1.1n-1b

100ab

=(2n-1)•1.1n-1%，然后再证明：P_n=f（n）=（2n-1）1.1^n-1%为增函数．

解答：解：（1）因为 a₁=a，b₁=b，
根据题意：a₂=a₁+2a=3a，b₂=b₁（1+10%）=1.1b（2分）
所以 P1=

a1b1

100ab

=1%（4分）
P2=

a2b2

100ab

3a×1.1b

100ab

=3.3%（6分）
该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为1%和3.3%（7分）
（2）因为 a_n=a₁+2a（n-1）=（2n-1）a（n∈N^*）（9分）
b_n=b₁×（1+10%）^n-1=1.1^n-1b（n∈N^*）（11分）
所以 Pn=

(2n-1)a×1.1n-1b

100ab

=(2n-1)•1.1n-1%（12分）
下证：P_n=f（n）=（2n-1）1.1^n-1%为增函数（15分）
证法1：

Pn+1

=…=

2n+1

2n-1

×1.1=(1+

2n-1

)×1.1＞1，
又 P_n＞0，
则 P_n=f（n）=（2n-1）1.1^n-1%为增函数，
证法2：P_n+1-P_n=…=（0.2n+2.1）×1.1^n-1%＞0
∴P_n+1＞P_n
则 P_n=f（n）=（2n-1）1.1^n-1%为增函数
再验证：P₇=13×1.1⁶%≈23.01%＞20%，
P₆=11×1.1⁵%≈17.71%＜20%（17分）
故，从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%（18分）

点评：本题考查数列的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．