题目内容
【题目】已知点在抛物线
上,过点
的直线与抛物线交于A,B两点,又过A,B两点分作抛物线的切线,两条切线交于P点.记直线PA、PB的斜率分别为
和
.
(1)求的值;
(2),
,求四边形PAEG面积的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)设的方程为
,根据点
在抛物线上,解得
,得到抛物线的方程,联立
,得
,设直线PA,PB的斜率分别为
,
,利用导数的几何意义可得
,
,然后利用韦达定理求解.
(2)由(1)可得直线PA的方程为,直线PB的方程为
,两式联立得到点P的坐标,然后再求弦长
及点P到直线AB的距离,得到
,用导数法求得求最小值,再根据
,
,得到ABGE是平行四边形,由
求解.
(1)由题意设的方程为
,
因为点在抛物线
上,
∴,
∴抛物线的方程为.
联立,得
.
,
设,则
.
设直线PA,PB的斜率分别为,
,
对求导得
,
∴,
,
∴.
(2)如图所示:
由(1)可得直线PA的方程为①
直线PB的方程为,②
联立①②,得点P的坐标为,
由(1)得,
,
∴,
于是,
点P到直线AB的距离,
∴,
,
当时,
,当
时,
,
所以时,
的面积取得最小值
.
又,
,
∴,且
所以ABGE是平行四边形,
所以.
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