Question

15．设函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{π}{3}$）+2sin²$\frac{x}{2}$，x∈[0，π]，求函数f（x）值域．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+1，由x∈[0，π]结合三角函数的运算可得值域．

解答 解：化简可得f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{π}{3}$）+2sin²$\frac{x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+2sin²$\frac{x}{2}$
=$\sqrt{3}$sinx+1-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+1，
∵x∈[0，π]，∴x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（x-$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]，
∴函数f（x）值域为[0，3]

点评 本题考查三角函数的值域，涉及和差角公式和二倍角公式，属基础题．