Question

【题目】如图，△ABC的外接圆O的直径为AB，CD⊥平面ABC，BE∥CD．

（1）求证：平面ADC⊥平面BCDE；

（2）试问在线段DE和BC上是否分别存在点M和F，使得平面OMF∥平面ACD？若存在，确定点M和点F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】

（1）推导出AC⊥BC，AC⊥DC，从而AC⊥平面BCDE，由此能求出平面ADC⊥平面BCDE．

（2）分别存在点M和F，使得平面OMF∥平面ACD，取BC中点M，DE中点F，连结OM，MF，推导出OM∥AC，MF∥CD，由此推导出在线段DE和BC上存在中点M和F，平面OMF∥平面ACD．

证明：（1）∵△ABC的外接圆O的直径为AB，CD⊥平面ABC，BE∥CD，

∴AC⊥BC，AC⊥DC，

∵BC∩DC=C，

∴AC⊥平面BCDE，

∵AC平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCDE．

（2）分别存在点M和F，使得平面OMF∥平面ACD，

取BC中点M，DE中点F，连结OM，MF，

∵O是AB的中点，∴OM∥AC，MF∥CD，

∵AC∩CD=C，OM∩MF=M，

AC、CD平面ACD，OM，MF平面OMF，

∴在线段DE和BC上存在中点M和F，平面OMF∥平面ACD．