题目内容

选修4-4:坐标系与参数方程
直线l:
x=a+4t
y=-1-2t
(t为参数),圆C:ρ=2
2
cos(θ+
π
4
)
(极轴与x轴的非负半轴重合,且单位长度相同).
(1)求圆心C到直线l的距离;
(2)若直线l被圆C截的弦长为
6
5
5
,求a
的值.
分析:(I) 把直线的参数方程化为普通方程,把圆的极坐标方程化为普通方程,由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离.
(II)利用弦心距、半径、半弦长之间的关系建立关于a的方程,从而解出a的值.
解答:解:(I)把
x=a+4t
y=-1-2t
 用代入法消去参数t,化为普通方程为 x=a+4(
y+1
-2
 ),即 x+2y+2-a=0.
 ρ=2
2
cos(θ+
π
4
)
,即 ρ2=2
2
ρ (
2
2
cosθ
-
2
2
sinθ
 )=2ρ cosθ-2ρsinθ,
化为直角坐标系中的方程为   x2+y2=2x-2y,即  x2+y2-2x+2y=0.
∴圆心(1,-1)到直线x+2y+2-a=0 的距离为
|1-2+2-a|
1+4
=
5
|1-a|
5

(II)由弦心距、半径、半弦长之间的关系得:(
3
5
)
2
+(
|a-1|
5
)
2
=(
2
)
2
,∴a2-2a=0,a=0,或a=2.
点评:本题考查把参数方程化为普通方程、把极坐标方程化为普通方程的方法,点到直线的距离公式的应用.
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