题目内容
【题目】设椭圆C： 
+ 
=1（a＞b＞0），定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2；若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为 
．
（1）求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；
（2）过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O为坐标原点．
①证明：PA⊥PB；
②若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为k1 ， k2 ， 试判断k1k2是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【答案】
（1）解：由抛物线x2=4y的焦点为（0，1）与椭圆C的一个短轴端点重合，
∴b=1，
由椭圆C的离心率e= 
= 
= 
，则a2=3，
∴椭圆的标准方程为： 
，x2+y2=4
（2）解：①证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），过点P过椭圆C的切线斜率存在且不为零，
设方程为y=kx+m，（k≠0），
由直线y=kx+m，过P（x1，y1），则m=y1﹣kx1，且x12+y12=4，
，消去y得：（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，
△=36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣3）=0，整理得：m2=3k2+1，
将m=y1﹣kx1，代入上式关于k的方程（x12﹣3）k2﹣2x1y1k+y12﹣1=0，（x12﹣3≠0），
则kPAkPB= 
=﹣1，（x12+y12=4），
当切线的斜率不存在或等于零结论显然成立，
∴PA⊥PB，
②当直线PQ的斜率存在时，
由①可知直线PQ的方程为y=kx+m，
，整理得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4=0，
则△=4k2m2﹣4（k2+1）（m2﹣4），将m2=3k2+1，代入整理△=4k2+12＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣ 
，x1x2= 
，
∴k1k2= 
= 
= 
，
= 
，
将m2=3k2+1，即可求得求得k1k2=﹣ 
，
当直线PQ的斜率不存在时，易证k1k2=﹣ ，
∴综上可知：k1k2=﹣
【解析】（1）由抛物线的方程，求得b的值，利用离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；（2）①设直线y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得kPAkPB=﹣1，即可证明PA⊥PB；②将直线方程代入圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k1k2= 
，代入即可求得k1k2=﹣ ．
