Question

设n∈N^*，则6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ除以8的余数是（　　）

A．-2

B．2

C．0

D．0或6

Answer 1

∵（6+1）ⁿ=1+6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ，则6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ=（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1=（8-1）ⁿ-1，
按照二项式定理展开可得，
（8-1）ⁿ=

C

0n

8n(-1)0

+C

1n

8n-1(-1)1+…+

C

nn

80(-1)n，
∵前n项中均有8的倍数，故均能被8整除，
∴最后一项为

C

nn

80(-1)n=（-1）ⁿ，
∴（8-1）ⁿ-1的最后两项为（-1）ⁿ-1，
当n为奇数时，最后两项为-1-1=-2除以8的余数为6，
当n为偶数时，最后两项为1-1=0除以8的余数为0，
∴6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ除以8的余数是0或6．
故选：D．