Question

（本小题满分12分）
设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为．求：
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）求圆的方程；
（Ⅲ）问圆是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）且
（Ⅱ） 
（Ⅲ）见解析

解析试题分析:（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是；
令，由题意且Δ＞0，
解得且．                                                   ……2分
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为，
令＝0 得，这与＝0 是同一个方程，故
令＝0 得，此方程有一个根为，代入得出
所以圆的方程为.                         ……6分
（Ⅲ）圆必过定点和．
证明：法一：将代入圆的方程，得左边＝右边＝，
所以圆必过定点．
同理可证圆必过定点．                                         ……12分
法二：圆的方程为可化为
令解得或  
所以圆必过定点和．                                      ……12分
考点：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
点评：由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，在做题时要合理选用，如果选择不恰当，可能会造成运算过于复杂而无法求解.