题目内容
【题目】已知经过圆
上点
的切线方程是
.
（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆
上一点的切线方程；
（2）已知椭圆
，P为直线
上的动点，过P作椭圆E的两条切线，切点分别为AB，
①求证：直线AB过定点.
②当点P到直线AB的距离为
时，求三角形PAB的外接圆方程.
【答案】（1）
.（2）①证明见解析；②
，
.
【解析】
（1）直接类比得到答案.
（2）①设切点为
，点
，根据（1）得到切线方程，代入点，化简得到答案.
②根据点到直线距离得到
，得到切线方程，联立方程组得到交点，设圆一般方程，代入点解得答案.
（1）类比上述性质知：切线方程为.
（2）①设切点为，点，
由（1）的结论的AP直线方程：
，BP直线方程：
，
通过点，∴有
， ∴A，B满足方程：
，
∴直线AB恒过点：
，即直线AB恒过点
.
②已知点到直线AB的距离为
. ∴
，
故
，
， ∴.
当
时，点
，直线AB的方程为：
，
，
解得
或
，故点
.
设
的外接圆方程为：
，代入得
，
解得
,所以的外接圆方程为
，
即的外接圆方程为： ，
当
时，由对称性可知，三角形PAB的外接圆方程为：.
【题目】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气质量等级 | [0，200] | (200，400] | (400，600] |
1（优） | 2 | 16 | 25 |
2（良） | 5 | 10 | 12 |
3（轻度污染） | 6 | 7 | 8 |
4（中度污染） | 7 | 2 | 0 |
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 | 人次>400 | |
空气质量好 | ||
空气质量不好 |
附：
，
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】2019年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者.为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据.
（1）请将列联表填写完整：
有接触史 | 无接触史 | 总计 | |
有武汉旅行史 | 27 | ||
无武汉旅行史 | 18 | ||
总计 | 27 | 54 |
（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？
附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
