题目内容
选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2(sinθ-cosθ),直线l的参数方程为:
(t为参数).
(1)写出圆C和直线l的普通方程;
(2)点p为圆C上动点,求点P到直线l的距离的最小值.
在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2(sinθ-cosθ),直线l的参数方程为:
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(1)写出圆C和直线l的普通方程;
(2)点p为圆C上动点,求点P到直线l的距离的最小值.
分析:(1)由ρ=2(sinθ-cosθ)得ρ2=2(ρsinθ-ρcosθ),把x=ρcosθy=ρsinθ代入即可得出圆C的普通方程.由
,相切参数t可得y=-1+2(x-2),即可得到直线l的普通方程.
(2)由圆的几何性质知点P到直线l的距离的最小值为圆心C到直线l的距离减去圆的半径,即可得出.
|
(2)由圆的几何性质知点P到直线l的距离的最小值为圆心C到直线l的距离减去圆的半径,即可得出.
解答:解:(1)由ρ=2(sinθ-cosθ)得ρ2=2(ρsinθ-ρcosθ),
∴x2+y2=2y-2x,
即圆C的普通方程为:(x+1)2+(y-1)2=2.
由
,得y=-1+2(x-2),
∴直线l的普通方程为2x-y-5=0.
(2)由圆的几何性质知点P到直线l的距离的最小值为圆心C到直线l的距离减去圆的半径,
令圆心C到直线l的距离为d,
则d=
=
,
∴最小值
-
.
∴x2+y2=2y-2x,
即圆C的普通方程为:(x+1)2+(y-1)2=2.
由
|
∴直线l的普通方程为2x-y-5=0.
(2)由圆的几何性质知点P到直线l的距离的最小值为圆心C到直线l的距离减去圆的半径,
令圆心C到直线l的距离为d,
则d=
|2×(-1)-1-5| | ||
|
8
| ||
5 |
∴最小值
8
| ||
5 |
2 |
点评:本题考查老爸极坐标方程和参数方程化为直角坐标方程、圆上的点到直线的直线距离,属于基础题.
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