Question

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为A₁、A₂，上、下顶点分别为B₁、B₂．设直线A₁B₁的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA₂为直径的圆关于直线A₁B₁对称．

（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线A₁B₁与圆C的位置关系，并说明理由；
（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A₁B₁的倾斜角的正弦值为，所以，由此能求出椭圆E的离心率．
（2）由，设a=4k（k＞0），，则，于是A₁B₁的方程为：，故OA₂的中点（2k，0）到A₁B₁的距离d=，由此能够证明直线A₁B₁与圆C相切．
（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，设OA₂的中点（1，0）关于直线A₁B₁：的对称点为（m，n），则，由此能求出圆C的方程．
解答：解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），
因为直线A₁B₁的倾斜角的正弦值为，所以，
于是a²=8b²，即a²=8（a²-c²），所以椭圆E的离心率．（4分）
（2）由可设a=4k（k＞0），，则，
于是A₁B₁的方程为：，
故OA₂的中点（2k，0）到A₁B₁的距离d=，（6分）
又以OA₂为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，
所以直线A₁B₁与圆C相切．（8分）
（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，（10分）
设OA₂的中点（1，0）关于直线A₁B₁：的对称点为（m，n），
则（12分）
解得．所以，圆C的方程为（14分）
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．