题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
在
处的切线方程;
(2)令,已知函数
有两个极值点
,且
,求实数
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若存在,使不等式
对任意
(取值范围内的值)恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
(1)求出导数,计算
,由点斜式写出切线方程并整理成一般式;
(2)求出,由
,可得
有两个满足题意的不等实根,由二次方程根的分布可得
的范围;
(3)由(2)求出两极值点,确定的单调性,得
在
单调递增,因此题设中
使不等式成立,取
为最大值
,使之成立即可。化简为不等式
对任意的
恒成立,引入函数
,由导数研究此函数的单调性得不等式成立的条件.
解:当
时,
时,
在
处的切线方程为
化简得:
对函数求导可得,
令,可得
,解得
的取值范围为
由
,解得
而在
上递增,在
上递减,在
上递增
在
单调递增
在
上,
,使不等式
对
恒成立
等价于不等式恒成立
即不等式对任意的
恒成立
令,则
①当时,
在
上递减
不合题意
②当时,
若,即
时,则
在
上先递减
时,
不能恒成立
若即
,则
在
上单调递增
恒成立
的取值范围为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学校有30位高级教师,其中60%人爱好体育锻炼,经体检调查,得到如下列联表.
身体好 | 身体一般 | 总计 | |
爱好体育锻炼 | 2 | ||
不爱好体育锻炼 | 4 | ||
总计 | 20 |
(1)根据以上信息完成列联表,并判断有多大把握认为“身体好与爱好体育锻炼有关系”?
(2)现从身体一般的教师中抽取3人,记3人中爱好体育锻炼的人数为,求
的分布列及数学期望.
参考公式:,其中
.
临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】近年来,我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间,某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币,与此同时,相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为0.6,对服务的满意率为0.75,其中对商品和服务都满意的交易为80次.
(1)根据已知条件完成下面的列联表,并回答能否有
的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?
对服务满意 | 对服务不满意 | 合计 | |
对商品满意 | 80 | ||
对商品不满意 | 10 | ||
合计 | 200 |
(2)若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的3次购物中,设对商品和服务都满意的次数为随机变量,求
的分布列和数学期望
.
临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.897 | 10.828 |
的观测值:
(其中
).