题目内容
【题目】设函数,.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行,求;
(2)当时,函数的图象恒在轴上方,求的最大值.
【答案】(Ⅰ)a=e;(Ⅱ)a的最大值为2e;
【解析】
(Ⅰ)先求导数,再根据导数几何意义得切线斜率,最后根据条件列方程解得a;(Ⅱ)先求导数,再根据导函数零点与1大小分类讨论,根据函数单调性确定函数最小值,最后根据最小值大于零,解得a的取值范围,即得最大值.
(Ⅰ)∵,∴f'(x)=exa,∴f'(1)=ea,
由题设知f'(1)=0,即ea=0,解得a=e.
经验证a=e满足题意.
(Ⅱ)令f'(x)=0,即ex=a,则x=lna,
(1)当lna<1时,即0<a<e
对于任意x∈(-∞,lna)有f'(x)<0,故f(x)在(-∞,lna)单调递减;
对于任意x∈(lna,1)有f'(x)>0,故f(x)在(lna,1)单调递增,
因此当x=lna时,f(x)有最小值为成立.所以0<a<e,
(2)当lna≥1时,即a≥e对于任意x∈(-∞,1)有f'(x)<0,
故f(x)在(-∞,1)单调递减,所以f(x)>f(1).
因为f(x)的图象恒在x轴上方,所以f(1)≥0,即a≤2e,
综上,a的取值范围为(0,2e],所以a的最大值为2e.
练习册系列答案
相关题目