题目内容

9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA、BC的中点,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=$\sqrt{2}$,CD=1.
(1)证明:MN∥平面PCD;
(2)证明:MC⊥BD;
(3)求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.

分析 (1)首先以DA,DC,DP三直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,写出图形中点的坐标,根据已知$\overrightarrow{DA}$为平面PCD的一条法向量,要证明MN∥平面PCD,只要证明$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{DA}$,即求$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}=0$即可;
(2)求出$\overrightarrow{MC},\overrightarrow{BD}$的坐标,求$\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{BD}=0$,从而得到$\overrightarrow{MC}⊥\overrightarrow{BD}$,这样便得出MC⊥BD;
(3)容易看出$\overrightarrow{DC}$为平面PAD的一条法向量,可设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$,由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$.设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为θ,从而根据cosθ=$|cos<\overrightarrow{DC},\overrightarrow{n}>|$即可求出cosθ,也就是求出了平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.

解答 解:根据已知,DA,DC,DP三直线两两垂直,分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:

D(0,0,0),A($\sqrt{2}$,0,0),B($\sqrt{2}$,1,0),C(0,1,0),P(0,0,$\sqrt{2}$),M($\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}$),N($\frac{\sqrt{2}}{2},1,0$);
(1)证明:$\overrightarrow{DA}=(\sqrt{2},0,0)$为平面PCD的一条法向量,$\overrightarrow{MN}=(0,1,-\frac{\sqrt{2}}{2})$;
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}=0$;
∴$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{DA}$;
∴MN∥平面PCD;
(2)证明:$\overrightarrow{MC}$=($-\frac{\sqrt{2}}{2},1,-\frac{\sqrt{2}}{2}$),$\overrightarrow{BD}=(-\sqrt{2},-1,0)$;
∴$\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{BD}=1-1+0=0$;
∴$\overrightarrow{MC}⊥\overrightarrow{BD}$;
∴MC⊥BD;
(3)$\overrightarrow{DC}=(0,1,0)$为平面PAD的一条法向量,$\overrightarrow{PB}=(\sqrt{2},1,-\sqrt{2})$,$\overrightarrow{PC}=(0,1,-\sqrt{2})$;
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$,则:
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}x+y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$;
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\sqrt{2}z}\end{array}\right.$,取z=1,∴$\overrightarrow{n}=(0,\sqrt{2},1)$;
设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为θ,则:
cosθ=|cos$<\overrightarrow{DC},\overrightarrow{n}>$|=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}•1}=\frac{\sqrt{6}}{3}$;
∴平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

点评 考查建立空间直角坐标系,利用空间向量证明线面平行,线线垂直,以及求二面角的方法,线面垂直的性质,平面法向量的概念及求法,两非零向量垂直的充要条件,向量夹角余弦的坐标公式.

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