Question

5．数列{a_n}的其前n项和为S_n．已知a_n=5S_n-3（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求a₁+a₃+…+a_2n-1的和．

Answer 1

分析 （1）a_n=5S_n-3（n∈N^*），分别取n=1，2，3，可得a₁，a₂，a₃．
（2）l利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（3）由（2）可得：a_2n-1=$3×\frac{1}{{4}^{2n-1}}$．利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a_n=5S_n-3（n∈N^*），分别取n=1，2，3，可得a₁=$\frac{3}{4}$，a₂=-$\frac{3}{16}$，a₃=$\frac{3}{64}$．
（2）当n≥2时，a_n-1=5S_n-1-3，∴a_n-a_n-1=5a_n，∴${a}_{n}=-\frac{1}{4}{a}_{n-1}$，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{3}{4}$，公比为-$\frac{1}{4}$．
∴${a}_{n}=\frac{3}{4}×（-\frac{1}{4}）^{n-1}$=-3×$（-\frac{1}{4}）^{n}$．
（3）由（2）可得：a_2n-1=$3×\frac{1}{{4}^{2n-1}}$．
∴a₁+a₃+…+a_2n-1=3×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{1{6}^{n}}）}{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{4}{5}（1-\frac{1}{1{6}^{n}}）$．

点评 本题考查了递推式、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．