题目内容
7.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则双曲线的离心率等于$\sqrt{5}$,则该双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}$=1.分析 根据抛物线的方程算出其焦点为(1,0),从而得出双曲线的右焦点为F(1,0).再设出双曲线的方程,利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组,解出a、b的值即可得到该双曲线的方程.
解答 解:∵抛物线方程为y2=4x,∴2p=4,得抛物线的焦点为(1,0).
∵双曲线的一个焦点与抛物y2=4x的焦点重合,
∴双曲线的右焦点为F(1,0)
∴a2+b2=1…①
∵双曲线的离心率等$\sqrt{5}$,∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$,即$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=5…②
由①②联解,得a2=$\frac{1}{5}$,b2=$\frac{4}{5}$,
∴该双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}$=1.
故答案为:$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}$=1.
点评 本题给出抛物线的焦点为双曲线右焦点,求双曲线的方程.着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.
练习册系列答案
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