题目内容

12.对任意的x∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{2}$],不等式sin2x+asinx+a+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是a≥-2.

分析 利用换元法令t=sinx,不等式可整理为t2+at+a+3≥0恒成立,得a≥$\frac{-{t}^{2}-3}{t+1}$,利用分离常数法求出右式的最大值即可.

解答 解:令t=sinx,
∴t∈[-$\frac{1}{2}$,1],
∴t2+at+a+3≥0恒成立,
∴a≥$\frac{-{t}^{2}-3}{t+1}$=-(t+1)-$\frac{4}{t+1}$+2,
令f(t)=-(t+1)-$\frac{4}{t+1}$=-[(t+1)+$\frac{4}{t+1}$],
∴f(t)≤-4,
∴-(t+1)-$\frac{4}{t+1}$+2≤-2,
∴a≥-2.
故答案为a≥-2.

点评 考查了换元法的应用和恒成立问题的转换.难点是利用分离常数法求最大值.

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