Question

17．已知点A是椭圆的一个短轴顶点，B，C均为椭圆上的点，△ABC为以A为直角顶点的等腰三角形，这样的三角形有三个，则椭圆离心率的范围（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）．

Answer 1

分析 不妨设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1＞0），A（0，1），设出AB的方程为y=kx+1（不妨设k＞0），AC的方程为y=-$\frac{1}{k}$+1，利用直线与方程与椭圆方程联立，利用等腰直角三角形ABC中的两腰|AB|=|AC|，化简整理，借助二次方程的判别式大于0，求得a的取值范围，再由离心率公式即可得到所求范围．

解答 解：不妨设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1＞0），A（0，1），
不妨设l_AB：y=kx+1（k＞0），l_AC：y=-$\frac{1}{k}$x+1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，得（1+a²k²）x²+2ka²x=0，…①
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x_A-x_B|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2k{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，
同理可得|AC|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{2{a}^{2}•\frac{1}{k}}{1+\frac{{a}^{2}}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2{a}^{2}}{{k}^{2}+{a}^{2}}$．
由|AB|=|AC|得，k³-a²k²+a²k-1=0，
即（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0，解得k=1或k²+（1-a²）k+1=0．
对于k²+（1-a²）k+1=0，
由题意可得△=（1-a²）²-4＞0，得a＞$\sqrt{3}$，
当a＞$\sqrt{3}$时，方程k²+（1-a²）k+1=0有两个不等实数根．
∴当a＞$\sqrt{3}$，即离心率e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$=$\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$∈（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1），时，这样的三角形有3个．
故答案为：（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1），

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、判别式与一元二次方程的实数根的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题．